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2018年成人高考高起点文数考试章节难点解析(6)

2018-01-17编辑01辽宁成人高考网

难点6 函数值域及求法

函数的值域及其求法是近几年考查的重点内容之一。本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法,并会用函数的值域解决实际应用问题。

●难点磁场

(★★★★★)设m是实数,记M={m|m>1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+ )。

(1)证明:当m∈M时,f(x)对所有实数都有意义;反之,若f(x)对所有实数x都有意义,则m∈M。

(2)当m∈M时,求函数f(x)的最小值。

(3)求证:对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1。

●案例探究

[例1]设计一幅宣传画,要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白,左右各留5 cm空白,怎样确定画面的高与宽尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈[ ],那么λ为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小?

命题意图:本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题,同时考查运用所学知识解决实际问题的能力,属★★★★★级题目。

知识依托:主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识。

错解分析:证明S(λ)在区间[ ]上的单调性容易出错,其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决。

技巧与方法:本题属于应用问题,关键是建立数学模型,并把问题转化为函数的最值问题来解决。

解:设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx2=4840,设纸张面积为S cm2,则S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,将x= 代入上式得:S=5000+44 (8 + ),当8 = ,即λ= <1)时S取得最小值。此时高:x= =88 cm,宽:λx= ×88=55 cm。

如果λ∈[ ]可设 ≤λ1<λ2≤ ,则由S的表达式得:

又 ≥ ,故8- >0,

∴S(λ1)-S(λ2)<0,∴S(λ)在区间[ ]内单调递增。

从而对于λ∈[ ],当λ= 时,S(λ)取得最小值。

答:画面高为88 cm,宽为55 cm时,所用纸张面积最小。如果要求λ∈[ ],当λ= 时,所用纸张面积最小。

[例2]已知函数f(x)= ,x∈[1,+∞ (1)当a= 时,求函数f(x)的最小值。

(2)若对任意x∈[1,+∞ ,f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围。

命题意图:本题主要考查函数的最小值以及单调性问题,着重于学生的综合分析能力以及运算能力,属★★★★级题目。

知识依托:本题主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围,体现了转化的思想与分类讨论的思想。

错解分析:考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决。

技巧与方法:解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式;解法二运用分类讨论思想解得。

(1)解:当a= 时,f(x)=x+ +2

∵f(x)在区间[1,+∞ 上为增函数,

∴f(x)在区间[1,+∞ 上的最小值为f(1)= 。

(2)解法一:在区间[1,+∞ 上,f(x)= >0恒成立 x2+2x+a>0恒成立。